FWF Projekt P28858

Eine der häufigsten Fragen in der Wissenschaft ist „Was hat diesen Effekt verursacht?“. Der Effekt ist dabei üblicherweise eine beobachtbare Größe, d.h. das Ergebnis einer Messung. Zum Beispiel, bei der Messung der Temperatur mithilfe eines Thermometers stellt sich im Grunde die Frage „Welche Temperatur verursachte diese Ausdehnung des Quecksilbers?“. Die gemessene Größe ist dann die Länge der Quecksilbersäule. Um diese Frage zu beantworten, benötigt man eine Verbindung zwischen der Temperatur und der Länge, also ein Modell. Schon ein Blick auf ein Thermometer zeigt, dass die Ausdehnung proportional zur Temperatur ist. Ein solches Modell wird auch linear genannt.

Formal wird also gefragt „Welche Werte der Parameter eines Modells führen zu den gemessenen Daten?“ Dieses Projekt strebt danach, diese Frage für Modelle zu beantworten, welche von einem Paar von Parametern abhängen, die jeweils proportional in die Daten eingehen. Diese werden in der Mathematik bilineare inverse Probleme genannt. Bei einer Kamera, zum Beispiel, haben sowohl das einfallende Licht, wie auch die Verzerrung der Linse proportionalen Einfluss auf das resultierende Bild.

Die Lösung bilinearer inverser Probleme ist besonders herausfordernd, wenn das Modell dazu neigt, ähnliche Daten für wesentlich unterschiedliche Parameter zu produzieren. Das bei der realen Messung der Daten unvermeidbare Rauschen schränkt dann stark die Möglichkeit ein, die für die Daten verantwortlichen, tatsächlichen Parameter zu rekonstruieren. Unglücklicherweise, ist diese Art von Modellen sehr verbreitet in modernen Messtechniken der Medizin, den Ingenieur- und Naturwissenschaften.

Das Hauptziel dieses Projekts ist es, mit mathematischer Stringenz, eine allgemein anwendbare Sammlung an Werkzeugen zur Lösung solcher Probleme bereitzustellen. Dies beginnt mit der genauen Untersuchung der Eigenschaften bilinearer Probleme und mündet in der Entwicklung von Hilfsmitteln welche von den Anwendern für deren Lösung gebraucht werden.

Der innovative Kern des Projekt ist die Kombination dreier Ideen: Die Hauptidee und -methode ist zu bemerken, dass alle Paare von Parametern auch als spezielle Fälle eines einzelnen Parameters in einer größeren Menge aufgefasst werden können. Wenn diese Menge geeignet gewählt wird, wird das Problem linear auf dieser Menge. Dieser Prozess, tensorielles Lifting genannt, macht das Problem deutlich zugänglicher. Das entstehende Problem kann jedoch immer noch sehr herausfordernd sein. Daher, als zweite Zutat, verändern wir das Problem so, dass diese Veränderung keine oder nur kleine Änderungen der entstehenden Rekonstruktionen bewirkt. Dieser Ansatz wird Relaxation genannt. Schließlich, im dritten Teil, werden die in diesem Projekt gewonnen Erkenntnisse in Form neuer Löser - welche auf die Bedürfnisse der Anwender von bilinearen Problemen zugeschnitten sind - in Anwendung gebracht.

• Dr. Kamil S. Kazimierski

• R. Beinert, K. Bredies
  Tensor-free proximal methods for lifted bilinear/quadratic inverse problems with applications to phase retrieval.
  Zur Veröffentlichung eingereicht, 2019
  (arXiv: 1907.04875, Preprint als Download)
   
• R. Beinert, K. Bredies
  Non-convex regularization of bilinear and quadratic inverse problems by tensorial lifting.
  Inverse Problems, 35(1), 015002 (40 S.), 2019
  (arXiv: 1804.10524, Preprint als Download)
   
• T. Bendory, R. Beinert, Y. C. Eldar
  Fourier Phase Retrieval: Uniqueness and Algorithms.
  Buchkapitel in: Compressed Sensing and its Applications.
  H. Boche, G. Caire, R. Calderbank, M. März, G. Kutyniok, R. Mathar (Hrsg.)
  Cham : Birkhäuser, 2017 (Applied and Numerical Harmonic Analysis), Kapitel 2, 55-91
  (arXiv: 1705.09590, Preprint als Download)
   
• R. Beinert, G. Plonka
  Sparse phase retrieval of structured signals by Prony's method.
  PAMM, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 17(1), 829-830, 2017
  (Preprint als Download)
   
• R. Beinert, G. Plonka
  Sparse phase retrieval of one-dimensional signals by Prony's method.
  Frontiers in Applied Mathematics and Statistics 3(5), 2017
  (arXiv:1701.08947, Preprint als Download)

• Chemnitz Symposium on Inverse Problems
  30. September-2. Oktober 2019 in Frankfurt (Deutschland)
   
• SIAM Conference on Applied Algebraic Geometry
  9.-13. Juli 2019 in Bern (Schweiz)
   
• SPARS 2019
  1.-4. Juli 2019 in Toulouse (Frankreich)
   
• GAMM 90th Annual Meeting
  18.-22. Februar 2019 in Wien (Österreich)
   
• Chemnitz Symposium on Inverse Problems
  27.-28. September 2018 in Chemnitz (Deutschland)
   
• Mecklenburg Workshop "Approximation Methods and Fast Algorithms"
  10.-14. September 2018 in Hasenwinkel (Deutschland)
   
• Organisation des Minisymposiums: Bilinear and quadratic problems in imaging
  (SIAM Conference on Imaging Science)
  6. Juni 2018 in Bologna (Italien)
   
• SIAM Conference on Imaging Science
  5.-8. Juni 2018 in Bologna (Italien)
   
• 9th International Conference "Inverse Problems: Modeling & Simulation"
  21.-25. Mai 2018 in Cirkewwa/Mellieha (Malta)
   
• 89th GAMM Annual Meeting
  19.-23. März 2018 in München (Deutschland)
   
• 88th GAMM Annual Meeting
  6.-10. März 2017 in Weimar (Deutschland)
   
• Workshop: Shape, Images and Optimization
  28. Februar - 3. März 2017 in Münster (Deutschland)
   
• IFIP WG 7.4 Workshop on Inverse Problems and Imaging
  19.-21. Dezember 2016 in Mülheim a.d. Ruhr (Deutschland)
   
• Imaging with Modulated/Incomplete Data
  22.-24. September 2016 in Graz (Österreich)