FWF Projekt P29192

Unsere Wahrnehmung der Welt ist zu großen Teilen visuell. Bilder, die Manifestation dieser Wahrnehmung, sind ein wesentlicher Bestandteil der menschlichen Kultur. Moderne Technologie erlaubt es, Bilder digital aufzunehmen, zu verarbeiten und zu speichern. Dies bereitet den Weg für Bildverarbeitung als  wissenschaftliche Disziplin. Als solche beeinflusst sie zunehmend unseren Alltag: Sie spielt eine wichtige Rolle bei digitaler Foto- und Videotechnologie, mit der wir zum Beispiel unsere Urlaubserinnerungen aufzeichnen, und ist ein wesentlicher Bestandteil moderner diagnostischer Verfahren der Medizin, wie Computertomographie (CT) und Magnetresonanzbildgebung (MRI).

Mathematische Bildverarbeitung als wissenschaftliche Disziplin umfasst unter anderem die Übersetzung von aufgenommenen Daten in eine sinnvolle visuelle Darstellung. Diese Aufgabe ist bei Weitem nicht trivial, insbesondere dann, wenn kein direkter Zusammenhang zwischen aufgenommenen Daten und visueller Darstellung besteht. Bei tomographischen Verfahren wie CT und MRI, wo es darum geht, ein Bild vom Inneren des Körpers zu erzeugen, ist dies der Fall. Zusätzliche Schwierigkeiten ergeben sich, wenn Messungen verrauscht oder unvollständig sind. Deren Übersetzung zu einem klaren, präzisen Bild, zum Beispiel des menschlichen Herzens, benötigt moderne Mathematik und ist eine anspruchsvolle Forschungsaufgabe.

Variationelle Methoden in der Bildverarbeitung leisten einen wesentlichen Beitrag zum Fortschritt bei der Lösung solcher Aufgaben. Sie basieren auf mathematischen Modellen, die in Computerprogramme übertragen werden können, welche die eigentlichen Rechnungen durchführen. Diese Modelle beinhalten sowohl den Zusammenhang zwischen gemessenen Daten und dem zu erzeugenden Bild, als auch eine abstrakte Beschreibung der qualitativen Eigenschaften dieses Bildes. Letzteres wird Regularisierung genannt und ist der Schlüssel, um Schwierigkeiten mit verrauschten sowie unvollständigen Daten zu überwinden. Die Wahl einer geeigneten Regularisierung ist anspruchsvoll und stellt den entscheidenden Faktor für den Erfolg einer Methode dar. Ist allerdings ein guter Regularisierungsansatz einmal entwickelt, gibt es breite Anwendungsmöglichkeiten. In MRI zum Beispiel kann so eine Bildrekonstruktion aus nur 10% der üblicherweise benötigten Daten  erfolgen, was eine wesentlich kürzere Aufnahmezeit ermöglicht. Ohne Regularisierung ließen sich solche Resultate nicht erreichen, entsprechende Forschung ist daher ein wichtiges Thema der mathematischen Bildverarbeitung.

In den letzten Jahren konnten große Fortschritte mit scheinbar sehr unterschiedlichen Regularisierungsansätzen erzielt werden. Deren Erfolg ist jedoch auf sehr ähnliche grundlegende Strukturen zurückzuführen. Letztere beinhalten ein großes Potential, aktuelle Forschungsergebnisse zu vereinheitlichen und zu erweitern. Das Ziel dieses Projektes ist es, Theorie und Anwendung einer solchen Vereinheitlichung sowie Erweiterung durch sogenannte Regularisierungsgraphen bereitzustellen. Es ist für einen einfachen Transfer zu konkreten Problemstellungen ausgelegt und soll dazu beitragen, die Grenzen des Möglichen in den Anwendungsfeldern der Bildverarbeitung zu verschieben. Dies könnte den Grundstein für konkrete Fortschritte in der Praxis legen, wie beispielsweise einer Verkürzung der Aufnahmezeit bei MRI derart, dass neue Echtzeit-Anwendungen möglich werden.

• K. Bredies, M. Carioni, M. Holler.
  Regularization Graphs — A unified framework for variational regularization of inverse problems.
  Inverse Problems, 2022.
  (Open Access, Preprint arXiv:2111.03509)
   
• K. Bredies, M. Carioni, S. Fanzon, F. Romero.
  A generalized conditional gradient method for dynamic inverse problems with optimal transport regularization.
  Foundations of Computational Mathematics, 2022.
  (Open Access, Preprint arXiv:2012.11706)
   
• K. Bredies, M. Carioni, S. Fanzon, D. Walter.
  Linear convergence of accelerated generalized conditional gradient methods.
  Zur Veröffentlichtung eingereicht, 2021.
  (Preprint arXiv:2110.06756)
   
• K. Bredies, M. Carioni, S. Fanzon and F. Romero.
  On the extremal points of the ball of the Benamou-Brenier energy.
  Bulletin of the London Mathematical Society, 53(5):1436-1452, 2021.
  (Open Access, Preprint arXiv:1907.11589)
   
• K. Bredies, M. Carioni, S. Fanzon.
  A superposition principle for the inhomogeneous continuity equation with Hellinger-Kantorovich-regular coefficients.
  Zur Veröffentlichung eingereicht, 2020.
  (Preprint arXiv:2007.06964)
   
• K. Bredies, M. Holler.
  Higher-order total variation approaches and generalisations.
  Inverse Problems, 36(12):123001, 2020.
  (Open Access, Preprint arXiv:1912.01587)
   
• K. Bredies, R. Nuster, R. Watschinger.
  TGV-regularized inversion of the Radon transform for photoacoustic tomography.
  Biomedical Optics Express, 11(2):994-1019, 2020.
  (Open Access)
   
• K. Bredies, M. Carioni.
  Sparsity of solutions for variational inverse problems with finite-dimensional data.
  Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 59:14, 2020.
  (Open Access, Preprint arXiv:1809.05045)
   
• R. Huber, G. Haberfehlner, M. Holler, G. Kothleitner, K. Bredies.
  Total Generalized Variation regularization for multi-modal electron tomography.
  Nanoscale, 11:5617-5632, 2019.
  (Open Access)
   
• Y. Gao, K. Bredies.
  Infimal Convolution of Oscillation Total Generalized Variation for the Recovery of Images with Structured Texture.
  SIAM Journal on Imaging Sciences, 11(3):2021-2063, 2018.
  (Open Access, Preprint arXiv:1710.11591)
   
• K. Bredies, M. Holler, M. Storath, A. Weinmann.
  Total Generalized Variation for Manifold-valued Data.
  SIAM Journal on Imaging Sciences, 11(3):1785-1848, 2018.
  (Open Access, Preprint arXiv:1709.01616)
   

• M. Holler, R. Huber, F. Knoll.
  Coupled regularization with multiple data discrepancies.
  Inverse Problems, 34(8):084003, 2018.
  (Open Access, Preprint arXiv:1711.11512)

• M. Hintermüller, M. Holler, K. Papafitsoros.
  A function space framework for structural total variation regularization with application in inverse problems.
  Inverse Problems, 34(6):064002, 2018.
  (Open Access, Preprint arXiv:1710.01527)

• Organisation des Minisymposiums: Variational Methods for Inverse Problems in Imaging
  (10th International Conference on Inverse Problems: Modeling and Simulation)
  22.-28. Mai 2022 in Cirkewwa/Mellieha (Malta)
   
• 29th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization
  30. August-3. September 2021 in Quito (Ecuador)
   
• SIAM Conference on Imaging Science (IS20)
  6.-17. Juli 2020 (virtuell)
   
• 1st Austrian Calculus of Variations Day
  17.-18. Oktober 2019 in Wien (Österreich)
   
• Signal Processing with Adaptive Sparse Structured Representations (SPARS)
  1.-4. Juli 2019 in Toulouse (Frankreich)
   
• 9th ASEM Workshop for Advanced Electron Microscopy
  25.-26. April 2019 in Graz (Österreich)
   
• 90th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM)
  18.-22. Februar 2019 in Wien (Österreich)
   
• Variational methods and optimization in imaging
  4.-8. Februar 2019 in Paris (Frankreich)
   
• 5th European Conference on Computational Optimization (EUCCO)
  10.-12. September 2018 in Trier (Deutschland)
   
• Organisation des Minisymposiums: Variational Approaches for Regularizing Nonlinear Geometric Data
  (SIAM Conference on Imaging Science (IS18))
  5.-8. Juni 2018 in Bologna (Italien)
   
• SIAM Conference on Imaging Science (IS18)
  5.-8. Juni 2018 in Bologna (Italien)
   
• 9th International Conference "Inverse Problems: Modeling & Simulation"
  21.-25. Mai 2018 in Cirkewwa/Mellieha (Malta)
   
• Parisian Seminar on the Mathematics of Imaging
  8. Mai 2018 in Paris (Frankreich)
   
• 8th ASEM Workshop for Advanced Electron Microscopy
  26.-27. April 2018 in Wien (Österreich)
   
• Mathematics and Image Analysis (MIA)
  15.-17. Januar 2018 in Berlin (Deutschland)
   

• Isaac Newton Institute Workshop "Generative models, parameter learning and sparsity"
  30. Oktober-3. November 2017 in Cambridge (Vereinigtes Königreich)

• Isaac Newton Institute Workshop "Variational methods, new optimisation techniques and new fast numerical algorithms"
  4.-8. September 2017 in Cambridge (Vereinigtes Königreich)